La agonía de una estrella comienza al haberse agotado el hidrógeno vuelto helio. En estas condiciones, impía la gravedad somete al núcleo hasta el colapso que permitirá desencadenar procesos de fusión nuclear (triple-alfa) aún más agrestes. Del helio al carbón y al oxígeno.
Incluso, si la estrella es masiva: sodio, neón, magnesio; argón, calcio, hierro. A veces, la muerte definitiva es modesta, las capas superficiales son expulsadas y el núcleo, ya sin vida, queda expuesto, irradiando su calor residual. Otras, eventos de dramático onirismo se dan lugar: potentes y luminosas explosiones.
De una supernova mana suficiente energía para hacer emerger elementos como plata, oro y uranio: desechos cósmicos que regresan al espacio; polvo de estrellas y gas anticipando la siguiente generación. La danza de Shiva: la vida y la muerte como demiurgos del ciclo que se justifica a sí mismo.
La masa amorfa de polvo y gas se contrae bajo la gravedad. La energía gravitacional potencial decrece y se torna movimiento aleatorio: calor que incrementa hasta reiniciar el proceso de fusión para declarar el nacimiento de una estrella cuyo anillo de polvo y gas prometerá ser el conjunto de planetas que le orbiten hasta su muerte.
Fig. 1. Nebulosa del Cangrejo: remanente de supernova (NASA Hubblesite, s. f.)
Hace, exactamente, 200 años que János Bolyai culmina su trabajo sobre geometría hiperbólica. Una década después, este se publica como anexo a la obra de su padre, Farkas. Esta es una del par de galaxias que el siglo XIX ve nacer a partir del desgarramiento de convicciones pétreas secundado por una profunda sacudida a los cimientos de la actividad matemática.
Al respecto, “A Certain Ambiguity” de Suri y Bal, es la novela detrás de la que se esconde una sugerencia sobre la naturaleza dialéctica del quehacer matemático. Se trata de dos personajes, abuelo y nieto, cuyas actitudes ante la verdad matemática se entrelazan para moldear el futuro de Ravi Kapoor.
Vijay Sahni (Bauji), matemático indio y abuelo de Ravi, pavimentará el camino de su nieto, primero, como punto de ignición de su curiosidad matemática y, después -tras su muerte y, con su legado- como el oxígeno que permite que la combustión no cese. El curso de Nico Aliprantis: “Pensando sobre el infinito” y una serie de documentos que revelarán, de a poco, el secreto que dio humildad a Bauji en su juventud, servirán para devolver a Ravi el interés matemático aletargado por la apatía.
Vijay no fue siempre el matemático apacible y mesurado que Ravi conoció. Un desmedido y arrogante sentido de certidumbre dado por “su método”, el método deductivo y la axiomatización como vehículo que parecía tender a una prístina completitud, le harán enfrentar un proceso penal en el que, la interacción con el juez John Taylor, derrumbará su modelo mental hasta la vergüenza.
Vijay dejó en manos de Taylor la geometría euclídea como prueba de verdad absoluta, incluyendo el quinto axioma. Taylor le mostrará los -en ese entonces- recientes trabajos que ponían fin a la noción de una única geometría.
Los severos dolores de parto ante el nacimiento de las geometrías no euclidianas sugieren una condición humana que busca saciarse en la certeza de un modelo manipulable a los ojos del hombre hecho demonio de Laplace. ¿Cabe la duda ante la evidencia y universalidad de los cuatro primeros axiomas de la geometría euclídea? Entre dos puntos hay una sola línea, la extensión indefinida de una línea es posible, podemos trazar un círculo tomando un punto como centro y un radio cualquiera, todos los ángulos rectos son iguales. Tomemos un punto P y una línea L. ¿una sola paralela a L pasa por P? El “axioma de las paralelas” -expuesto a la manera de Playfair- o, quinto postulado, desde la publicación de “Los Elementos” (hace más de 2300 años) no gozó de la misma sensación de verdad: ¿intuición matemática?
La inquietud llevó a ingente cantidad de mentes a intentar demostrar la dependencia del quinto a partir de los anteriores. La infertilidad de la demostración por vía directa mostró ser rotunda.
Y, ¿si negamos el quinto para obtener una contradicción?
Durante el siglo XVIII, Saccheri y Lambert forjaron la daga con la que se daría muerte a la certeza sobre la consistencia absoluta del sistema axiomático euclídeo: el cuadrilátero de Saccheri.
La negación del quinto y el principio de tricotomía develaron, sin ser la intención, la existencia del mundo “perverso” que, habitado por triángulos cuya suma de ángulos es estrictamente menor a los 180º, no sucumbió ante la respuesta reaccionaria de la época. Una galaxia incipiente ante una supernova.
Al rededor de la segunda década del siglo XIX, Farkas Bolyai sugirió a su hijo, Jànos, abandonar el asunto de las paralelas en pos de su cordura. Sin embargo, ese “mundo de la nada” ya se desbordaba en llanto.
Los trabajos independientes de Nikolai Lobachevsky y Bolyai fundaron el desarrollo de la geometría hiperbólica, en donde, dados un punto P y una línea L, infinidad de paralelas a L pasan por P y, la circunferencia C de un círculo con k fija y r un radio no es 2πr sino πk(e^{r/k} −e^{r/k}) . La geometría elíptica o Riemanniana no tardó en aparecer, aquí no hay paralelas y las líneas son círculos.
Fig. 2. Tres superficies, tres geometrías
Redefinición de espacios, objetos y distancias: principio de transferencia. Las geometrías no euclídeas se montan sobre la euclídea (modelo). Resulta que las geometrías no euclídeas son lógicamente equivalentes a la euclídea. Además, es por Hilbert que sabemos que la geometría euclídea es tan consistente como el álgebra básica. Si se caen las no euclidianas, se viene abajo el edificio completo.
La consistencia de un sistema axiomático es relativa.
No, no creo en mí.
¡En todos los manicomios hay enfermos locos con tantas certezas!
Yo, que no tengo ninguna certeza, ¿soy más cierto o menos cierto?
No, ni en mí…
¿Creer en mí? No, ni en nada.
(de Campos, het. Pessoa, 1928, pp. 21–23)
Ravi, durante el curso de Nico, descubrirá que una suerte similar ha corrido la teoría de conjuntos. Que la aritmética transfinita de Cantor de finales del siglo XIX (en donde las partes no son más pequeñas que el todo), habiendo dado lugar a la hipótesis del continuo -equivalente al axioma de elección-, derrumbaría, por fin, la noción de aparatos matemáticos completos y absolutos. Los trabajos de Cohen y Gödel nos previenen: no es posible demostrar (en ZFC) ni refutar (en ZF) el que entre el cardinal de los naturales N y el cardinal de su conjunto potencia |℘(\mathbb{N})|, haya nada, i.e.: ∄ S tal que \aleph_0<S<2^{aleph_0}. La teoría de conjuntos no cantoriana equivale lógicamente a la cantoriana. Consistencia relativa.
Entonces, (la actividad matemática) va de una búsqueda de certeza relativa que no por carecer de condición absoluta ante nuestras limitaciones deja de tener sentido e intrínseca belleza.
Aunque, para acceder al Gedankelwelt de Dedekind y extraer retazos de la verdad que vive independiente, que sobrevivirá a la muerte de nuestra estrella, algunos -platonistas- exigiremos, como Vijay, no ser expulsados del paraíso de Cantor, invocado por Hilbert.
Mira que no hay más metafísica en el mundo que los chocolates…
¡Pudiera yo comer chocolates con la misma verdad con la que comes!
Pero yo pienso y, al retirar el papel plateado, que es hoja de estaño,
Tiro todo al suelo, como he tirado la vida.
(de Campos, het. Pessoa, 1928, p. 25 )
Referencias
de Campos, A., het. Pessoa, F. (2018 [1928]) Tabaquería (trad. E. Langagne), Ciudad de México, Tabaquería Libros.
Gaurav, S., Bal, H. (2007) A Certain Ambiguity. New Jersey, Princeton University Press.
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Hersh, R. and Davis, P. (1981) ‘Non-Euclidean Geometry’, in Hersh, R. and Davis, P. (eds) The Mathematical Experience. New York, Mariner Books (1998), pp. 217–222.
Kleene, S. (1967) ‘The Foundations of Mathematics’, in Kleene, S. (ed) Mathematical Logic, New York, Dover Publications (2002), pp. 175–222.
NASA Hubblesite (s. f.) The Ongoing Cycle of Stellar Creation and Destruction. [Online]. Disponible en: https://hubblesite.org/mission-and-telescope/hubble-30th-anniversary/hubbles-exciting-universe/beholding-the-birth-and-death-of-stars (Consultado 18 Octubre 2023).
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